棱锥的外接球这样处理最简单!

也可能是小数老师研究北京的题目太多了,最近几年没有看到这种问题,不过既然在微信平台上有同学提问了,那小数老师就帮这个同学整理一下吧!小数老师研究了一下,全国卷考这种题目还是比较多的,但是现在的难度也比小数老师上学时的简单了很多了!

找了最近的一些题目看了看,棱锥的外接球问题一般分为两类:已知棱锥的相关条件,求外接球的表面积或者体积等;已知棱锥的外接球的一些条件,求棱锥的相关信息!下面通过两道例题来看一下,这种题目该如何求解!

例1、已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,PC为球O的直径,该三棱锥的体积是

解析:本题已知三棱锥的体积与底面边长,求球O的表面积,其实说白了,就是需要找到外接球的半径,再利用公式就能得出结果了。所以,第一步就是画图,

通过题目我们可以知道,此三棱锥的底面为等边三角形,那么就可以知道,如果过点P向底面做垂线的话,垂足一定落在三角形ABC的边BC的高上,也就是图中的CD上,由于PC是外接球的直径,因此取中点O,然后找到三角形ABC的外接圆的圆心C,O也在CD上,所以能得到OO垂直于CD,所以OO与PD平行,且OO等于PD的一半,PD是三棱锥的高,根据三棱锥的体积就能求出高来,因此OO的值也能求出来,而三角形OOC是直角三角形,OC是三角形ABC高的三分之二,因此列出方程,球的半径就能求了。

例2、已知正四面体ABCD的棱长为a,其外接球表面积为S1,内切球表面积为S2,则S1:S2的值为()

解析:正四面体为载体,同学们真是沾大光了哈,棱长与底边都相等,其性质也特别好,外接球的球心与内切球的球心是一个,都在正四面体的高上,接下来画图找几何性质即可。

如图:点O是正四面体外接球与内切球的球心,并且BO为外接球的半径,OE为内切球的半径,三角形BOE为直角三角形,E点为三角形BCD的边CD上的高BF上的点,并且BE:EF=2:1,所以,根据这些条件进行列方程即可求出比值来。

例3、已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为2的球面上,且PA平面ABC,若AB=2,AC=

对于墙角型三棱锥,寻找外接球一般采取补形法,也就是以AB,AC,PA为边做出长方体来,长方体的外接球与此三棱锥的外接球相同,而对于长方体来说,其外接球的直径为长方体的体对角线,体对角线l与长方体的长a宽b高c的关系是:

以上就是小数老师给大家的三个例题,同学们可以发现,不管是哪种类型,重点是要找到球心,也就是要把三棱锥的几何性质搞清楚,同学们也不用担心,现在考试题目都不是很难,大家重点研究正三棱锥,正四面体,和墙角型的三棱锥就足以应对了!加油吧!

有什么想看的,欢迎大家发信息哈,小数老师精力有限,可能总结的不是那么全面,但是小数老师一定以高考题为参考题型来分析每个知识点的哈!

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